Aunque hay 365 posibles fechas de nacimiento, un grupo de 23 personas es suficiente para tener una probabilidad del 50 % de que alguien comparta el cumpleaños. Y con 70 personas, ya es de un 99,9 %. ¿Por qué?

En un grupo de 23 personas, en realidad hay 253 parejas a comparar: la primera con todas las demás (22 comparaciones), la segunda con todas las demás menos la primera que ya se ha comparado (21 comparaciones)… hasta sumar 253 comparaciones (23 × 22 : 2). Sólo este dato ya hace el 50 % menos paradójico.

Ignorando el 29 de febrero, se podría decir que el resto de 365 días pueden tocar por igual como cumpleaños de alguien. La probabilidad de que dos personas no compartan el cumpleaños es del 99,7 % (364 días de 365 no coinciden, por lo tanto, 364/365 = 0,997).

La probabilidad de que ninguna de las comparaciones dé positivo es igual a multiplicar la probabilidad de negativo por ella misma tantas veces como parejas: 0,997²⁵³ = 0,500. O sea, hay un 50 % de probabilidades de que nadie comparta el cumpleaños, por lo que el otro 50 % corresponde a que al menos una pareja lo comparta.

Remarco que eso es la probabilidad de que alguna pareja lo comparta. La probabilidad de que una persona concreta lo comparta se calcula según 1 − (364/365)ⁿ, dónde n es el número de personas. Para 23 personas es de un 6,1 %.

¿Qué me ha llevado a divagar sobre esto? Recalculando para 28 personas —el tamaño aproximado de mis clases de la escuela, del instituto y de la facultad de Traducción e Interpretación—, he tenido un 7,4 % de probabilidades de compartir mi cumpleaños tres veces. Y ha pasado cada vez.

Multiplicando las tres probabilidades, se obtiene que la probabilidad de que me pasara por triplicado es 0,04 % (0,074³). Eso me hace bastante especial, puesto que sólo le pasa a 1 de cada 2493 personas. Además, fuera de los estudios también he compartido cumpleaños. Pero no voy a calcular más, que ya me ha quedado el ego suficientemente satisfecho.

Por cierto, hoy es nuestro cumpleaños.

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AZAD, Kalid. Understanding the Birthday Paradox. Better Explained. [fecha de consulta: junio 2014]

Birthday problem. Wikipedia. [fecha de consulta: junio 2014]